Описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.

Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А) , равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) - функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале равна λ(t)dt . Если А - отрезок , то

Λ (A) = ∫ a b λ (t) d t {\displaystyle \Lambda (A)=\int \limits _{a}^{b}\lambda (t)\,dt}

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ , называется простейшим потоком с параметром λ .

Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А) . Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ . При этом Λ(А) равна объему области А , умноженному на λ .

Классификация

Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).

Простой процесс Пуассона

Пусть λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} . Случайный процесс { X t } t ≥ 0 {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}} называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью λ {\displaystyle \lambda } , если

Сложный (обобщённый) пуассоновский процесс

Обозначим через S k {\displaystyle S_{k}} сумму первых k элементов введённой последовательности.

Тогда определим сложный Пуассоновский процесс { Y t } {\displaystyle \{Y_{t}\}} как S N (t) {\displaystyle S_{N(t)}} .

Свойства

• Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того

P (X t = k) = λ k t k k ! e − λ t , k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \mathbb {P} (X_{t}=k)={\frac {\lambda ^{k}t^{k}}{k!}}e^{-\lambda t},\quad k=0,1,2,\ldots } .

• Траектории процесса Пуассона - кусочно-постоянные, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно

P (X t + h − X t = 0) = 1 − λ h + o (h) {\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=0)=1-\lambda h+o(h)} P (X t + h − X t = 1) = λ h + o (h) {\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=1)=\lambda h+o(h)} P (X t + h − X t > 1) = o (h) {\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}>1)=o(h)} при h → 0 {\displaystyle h\to 0} ,

где o (h) {\displaystyle o(h)} обозначает «о малое» .

Критерий

Для того чтобы некоторый случайный процесс { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} с непрерывным временем был пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

Информационные свойства

Зависит ли T {\displaystyle T} от предыдущей части траектории?
P ({ T > t + s ∣ T > s }) {\displaystyle \mathbb {P} (\{T>t+s\mid T>s\})} - ?

Пусть u (t) = P (T > t) {\displaystyle u(t)=\mathbb {P} (T>t)} .

U (t ∣ s) = P (T > t + s ∩ T > s) P (T > s) = P (T > t + s) P (T > s) {\displaystyle u(t\mid s)={\frac {\mathbb {P} (T>t+s\cap T>s)}{\mathbb {P} (T>s)}}={\frac {\mathbb {P} (T>t+s)}{\mathbb {P} (T>s)}}}
u (t ∣ s) u (s) = u (t + s) {\displaystyle u(t\mid s)u(s)=u(t+s)}
u (t ∣ s) = s (t) ⇔ u (t) = e − α t {\displaystyle u(t\mid s)=s(t)\Leftrightarrow u(t)=e^{-\alpha t}} .
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно .

X (b) − X (a) = n {\displaystyle X(b)-X(a)=n} - число скачков на отрезке [ a , b ] {\displaystyle } .
Условное распределение моментов скачков τ 1 , … , τ n ∣ X (b) − X (a) = n {\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{n}\mid X(b)-X(a)=n} совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины n {\displaystyle n} из R [ a , b ] {\displaystyle R} .

Плотность этого распределения f τ 1 , … , τ n (t) = n ! (b − a) n I (t j ∈ [ a , b ] ∀ j = 1 , n ¯) {\displaystyle f_{\tau _{1},\dots ,\tau _{n}}(t)={\frac {n!}{(b-a)^{n}}}\mathbb {I} (t_{j}\in \ \forall j={\overline {1,n}})}

ЦПТ

• Теорема.

P (X (t) − λ t λ t < x) ⇉ x λ t → ∞ Φ (x) ∼ N (0 , 1) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − u 2 2 d u {\displaystyle \mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}

Скорость сходимости:
sup x | P (X (t) − λ t λ t < x) − Φ (x) | ⩽ C 0 λ t {\displaystyle \sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}},
где C 0 {\displaystyle C_{0}} - константа Берри-Эссеена .

Применение

Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Так же возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.

Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания , связанных с расчетом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчетам.

Среди потоков событий особое место занимает так называемый «пуассоновский поток», обладающий по сравнению с другими, рядом свойств, существенно облегчающих решение задач.

Пуассоновским потоком событий называется поток, обладающий двумя свойствами – ординарностью и отсутствием последствий.

Поток называется потоком без последействия , если для любых двух не перекрывающих участков t 1 и t 2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой.

Обозначили случайное число событий, наступивших на интервале времени t 1 ,через х 1 и на интервале t 2 , через х 12 . Для потока без последействия случайные величины х 1 и х 2 независимы, т.е. вероятность того, что на участке t 2 наступило определенное число событий m 2 не зависит от того, сколько событий m 1 наступило на участке t 1 .

P (x 2 =m 2 ½x 1 =m 1) = P (x 2 =m ).

(m 1 =0, 1, 2,…)

(m 2 =0, 1, 2,…). (2.47)

Из теории вероятностей известно, что для пуассоновского потока число событий х 1 , попадающих на любой интервал длины t, примыкающих к точке t, распределено по закону Пуассона (рис. 2.5.):

где (а× (t× t)) m – среднее число событий, наступающих на интервале времени t, примыкающем к моменту времени t . Поэтому поток и называется «пуассоновским».

Среднее число событий для ординарного потока равно интенсивности потока l(t ). Следовательно, среднее число событий наступающих на интервале времени t, примыкающем к моменту времени t будет равно:

Если пуассоновский поток событий является стационарным , то величина а не будет зависеть от t:

В этом случае вероятность того, что на произвольно выбранном участке времени продолжительностью t наступит m событий, определяется по формуле:

Стационарный поток часто называется простейшим потоком, поскольку применение простейших потоков при анализе различных систем массового обслуживания приводит к наиболее простым решениям. Найдем закон распределения интервала времени между двумя событиями в простейшем потоке (рис 2.6.):

Вероятность того, что на участке t , следующем за одним событием не появится не одного события будет:

Но эта вероятность равна вероятности того, что случайные величины Т будут больше величины t . Следовательно,

F (t )=P (T <1)=1 - p ×(T >t )=1 - e - l t , t >0. (2.54)

где F (t ) –функция распределения случайной величины Т .

Дифференцируя это выражение, получим плотность распределения случайной величины Т :

f(t )=le - l t , (t >0). (2.55)

Таким образом, в простейшем потоке интервалы между двумя соседними событиями распределен по доказательному закону с параметром l.

Вследствие отсутствия последействия все интервалы между соседними событиями представляют собой независимые случайные величины. Поэтому простейший поток представляет собой стационарный поток Пальма .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Т -интервала времени между двумя событиями в простейшем потоке, равны:

Таким образом,

Регулярный поток событий:

где Т* участок, на который упадает случайное событие.

Регулярный поток представляет собой последовательность событий, разделенных строго одинаковыми интервалами.

Плотность распределения интервала между любыми событиями, может быть представлена в виде:

f (t )=d(t-m t ), (2.59)

где d(t ) – известная дельта-функция.

Так как интервал между соседними точками строго постоянен и равен m t , то очевидно математическое ожидание этого интервала равно m t , а D t = 0.

Найдем закон распределения времени Q от случайной точки до наступления очередного события:

Характеристическая функция интервала между соседними событиями в регулярном потоке будет иметь вид:

g (x )= e - imt x. (2.61)

Регулярный поток событий сравнительно редко используется при решении прикладных задач. Это объясняется тем, что такой поток событий обладает очень большим (неограниченным) последействием, так как, зная лишь один момент наступления событий в регулярном потоке, можно восстановить всё прошлое этого потока и предсказать будущее.

Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение, и т.п. События, образующие поток, в общем случае могут быть различными. Если события различаются только моментами появления, то поток событий называется однородным .

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай.

Поток событий называется стационарным , если вероятность попадания того или иного числа событий на промежуток времени зависит только от длительности промежутка и не зависит от того, где именно на оси времени расположен этот промежуток.

На практике часто встречаются потоки заявок, вероятностные характеристики которого не зависит от времени. Например, поток вызовов на городской телефонной станции на участке времени от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же в течение

Поток событий называется потоком без последействия , если для любых непересекающихся участков времени число событий, обладающих на одно из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия. Поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не может считаться потоком без последействия, так как моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между собой.

Выходной поток (или поток обслуженных заявок), покидающий систему массового обслуживания, обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет. Рассмотрим, например, одноканальную систему массового обслуживания, для которой

время обслуживания любой заявки имеет одну и ту же величину t об . Тогда в потоке обслуженных заявок минимальный интервал времени между заявками, покидающими

систему, будет равен t об . Нетрудно убедиться, что наличие такого минимального интервала неизбежно приводит к последействию. Действительно, пусть известно, что в какой-то момент t 1 систему покинула обслуженная заявка. Тогда можно утверждать с достоверностью, что на любом интервале времени, лежащем в пределах (t 1 , t 1 + t об ) ,

ни одна заявка не покинет систему. Значит, будет иметь место зависимость между числами событий на непересекающихся участках.

Поток событий называется ординарным ,если вероятность появления двух и более событий за малый промежуток времени имеет более высокий порядок малости по сравнению с вероятностью появления за этот промежуток одного события. Для ординарного потока событий вероятность одновременного появления более чем одного события равна нулю.

Условие ординарности означает, что заявки приходят по одиночке, а не парами, тройками и т.д.

Пуассоновским (простейшим ) потоком называют поток, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности. Название “пуассоновский” связано с тем, что для этого потока число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона.

Пуассоновский поток играет среди потоков событий особую роль, до некоторой степени аналогичную роли нормального закона среди других законов распределения. Можно доказать, что аналогично тому как при суммировании большого числа независимых случайных величин, подчиненных практически любым законам распределения, получается величина, приближенно распределенная по нормальному закону, при суммировании (взаимном наложении) большого числа ординарных, стационарных потоков с практически любым последействием получается поток, сколь угодно близкий к пуассоновскому. Условия, которые должны для этого соблюдаться, аналогичны условиям центральной теоремы, а именно – складываемые потоки должны оказывать на сумму приблизительно равномерное влияние.

ординарность (в каждый момент времени в СМО может пос­тупать не более одной заявки). Ординарность потока означает, что вероятность попадания на элементарный участок Dt двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него ровно одного события, т.е. при Dt->0 эта вероятность представляет собой бесконечно малую высшего порядка.

В каждый момент времени в СМО может пос­тупать не более одной заявки

Примерами ординарных потоков событий могут служить поток деталей, поступающих на конвейер для сборки, поток отказов технического устройства, поток автомашин, прибывающих на станцию техобслуживания. Примером неординарного потока может служить поток пассажиров, прибывающих в лифте на данный этаж.

Для ординарного потока можно пренебречь возможностью совместного появления на элементарном участке двух и более событий. В каждый момент времени в СМО может пос­тупать не более одной заявки

отсутствие последействия - для любых не перекрывающихся участков времени T 1 ,T 2 ,…,T n числа событий Х 1 =Х(t 1 ,T 1),Х 2 =Х(t 2 ,T 2),…., Х n = Х(t n ,T n), попадающих на эти участки, представляют собой независимые случайные величины, т.е. вероятность попадания любого числа событий на один из участков не зависит от того, сколько их попало на другие.

Отсутствие последействия означает, что для любого момента времени t0, будущие моменты наступления события потока (при t>t0) не зависят от того, в какие моменты наступали события в прошлом (при t

Ординарный поток событий, в котором отсутствует последействие, называется пуассоновским потоком.

Стационарность

Поток событий называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются со временем. В частности, для стационарного потока событий вероятность попадания того или иного числа событий на участок длины T

зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где именно на оси времени 0t этот участок расположен.

Это значит, что числа событий Х 1 (t 1 , T) и Х 2 (t 2 , T), попадающих на два участка одинаковой длины T, будут иметь одинаковые распределения. Отсюда следует, в частности, что для стационарного потока событий его интенсивность l(t) постоянна:

l(t) = l = const

Поток событий, обладающий всеми тремя свойствами, называется простейшим (или стационарным пуассоновским потоком).

Кроме того, к достоинствам простейшего потока можно так­же отнести следующее:

а) Сумма N независимых, ординарных и стационарных пото­ков заявок с интенсивностями сходится к простейшему потоку с интенсивностью , при условии, что складываемые потоки оказывают более или ме­нее одинаково малое влияние на суммарный поток;

б) Поток заявок, полученный путем случайного разрежения
исходного потока, когда каждая заявка с определенной
вероятностью p исключается из потока независимо от того, исключены другие заявки или нет, образует простейший поток с интенсивностью , где - интенсивность исходного потока. В отношении исходного потока заявок делается предположение лишь об ординарности и стационар­ности.

Поток с ограниченным последействием (рекуррентный поток) – поток, у которого случайные интервалы t1, t2,…, tn между соседними по времени событиями представляют собой независимые случайные величины. При его моделировании применяется последовательная (рекуррентная процедура): сначала разыгрывается величина t1, затем t2 и т.д. Например, последовательность вызовов такси.

За эталон потока в моделировании принято брать пуассоновский поток .

Пуассоновский поток - это ординарный поток без последействия.

Как ранее было указано, вероятность того, что за интервал времени (t 0 , t 0 + τ ) произойдет m событий, определяется из закона Пуассона:

где a - параметр Пуассона.

Если λ (t ) = const(t ), то это стационарный поток Пуассона (простейший). В этом случае a = λ · t . Если λ = var(t ), то это нестационарный поток Пуассона .

Для простейшего потока вероятность появления m событий за время τ равна:

Вероятность непоявления (то есть ни одного, m = 0) события за время τ равна:

Рис. 28.2 иллюстрирует зависимость P 0 от времени. Очевидно, что чем больше время наблюдения, тем вероятность непоявления ни одного события меньше. Кроме того, чем более значение λ , тем круче идет график, то есть быстрее убывает вероятность. Это соответствует тому, что если интенсивность появления событий велика, то вероятность непоявления события быстро уменьшается со временем наблюдения.

Вероятность появления хотя бы одного события (P ХБ1С) вычисляется так:

так как P ХБ1С + P 0 = 1 (либо появится хотя бы одно событие, либо не появится ни одного, - другого не дано).

Из графика на рис. 28.3 видно, что вероятность появления хотя бы одного события стремится со временем к единице, то есть при соответствующем длительном наблюдении события таковое обязательно рано или поздно произойдет. Чем дольше мы наблюдаем за событием (чем более t ), тем больше вероятность того, что событие произойдет - график функции монотонно возрастает.

Чем больше интенсивность появления события (чем больше λ ), тем быстрее наступает это событие, и тем быстрее функция стремится к единице. На графике параметр λ представлен крутизной линии (наклон касательной).

Если увеличивать λ , то при наблюдении за событием в течение одного и того же времени τ , вероятность наступления события возрастает (см. рис. 28.4 ). Очевидно, что график исходит из 0, так как если время наблюдения бесконечно мало, то вероятность того, что событие произойдет за это время, ничтожна. И наоборот, если время наблюдения бесконечно велико, то событие обязательно произойдет хотя бы один раз, значит, график стремится к значению вероятности равной 1.

Изучая закон, можно определить, что: m x = 1/λ , σ = 1/λ , то есть для простейшего потока m x = σ . Равенство математического ожидания среднеквадратичному отклонению означает, что данный поток - поток без последействия. Дисперсия (точнее, среднеквадратичное отклонение) такого потока велика. Физически это означает, что время появления события (расстояние между событиями) плохо предсказуемо, случайно, находится в интервале m x – σ < τ j < m x + σ . Хотя ясно, что в среднем оно примерно равно: τ j = m x = T н /N . Событие может появиться в любой момент времени, но в пределах разброса этого момента τ j относительно m x на [–σ ; +σ ] (величину последействия). На рис. 28.5 показаны возможные положения события 2 относительно оси времени при заданном σ . В данном случае говорят, что первое событие не влияет на второе, второе на третье и так далее, то есть последействие отсутствует.

По смыслу P равно r (см. лекцию 23. Моделирование случайного события. Моделирование полной группы несовместных событий), поэтому, выражая τ из формулы (*) , окончательно для определения интервалов между двумя случайными событиями имеем:

τ = –1/λ · Ln(r ) ,

где r - равномерно распределенное от 0 до 1 случайное число, которое берут из ГСЧ, τ - интервал между случайными событиями (случайная величина τ j ).

Пример 1 . Рассмотрим поток изделий, приходящих на технологическую операцию. Изделия приходят случайным образом - в среднем восемь штук за сутки (интенсивность потока λ = 8/24 [ед/час]). Необходимо промоделировать этот процесс в течение T н = 100 часов. m = 1/λ = 24/8 = 3, то есть в среднем одна деталь за три часа. Заметим, что σ = 3. На рис. 28.6 представлен алгоритм, генерирующий поток случайных событий.

На рис. 28.7 показан результат работы алгоритма - моменты времени, когда детали приходили на операцию. Как видно, всего за период T н = 100 производственный узел обработал N = 33 изделия. Если запустить алгоритм снова, то N может оказаться равным, например, 34, 35 или 32. Но в среднем, за K прогонов алгоритма N будет равно 33.33… Если посчитать расстояния между событиями t сi и моментами времени, определяемыми как 3 · i , то в среднем величина будет равна σ = 3.